Question

如图，抛物线y=

1

4

x²+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（-1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,勾股定理,平行四边形的判定,相似三角形的应用

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；
（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x²+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（-1，0）两点，
∴

25 4 +5b+c=0 1 4 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 5 4

．
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²-x-

5

4

．

（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，
∵点C在直线y=2x上，
∴C（5，10）
∵点A和A′关于直线y=2x对称，
∴OC⊥AA′，A′D=AD．
∵OA=5，AC=10，
∴OC=

OA2+AC2

=

52+102

=5

5

．
∵S_△OAC=

1

2

OC•AD=

1

2

OA•AC，
∴AD=2

5

．
∴AA′=4

5

，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，
∵∠A′AE+∠A′AC=90°，
∠ACD+∠A′AC=90°，
∴∠A′AE=∠ACD．
又∵∠A′EA=∠OAC=90°，
∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．
∴

A′E

OA

=

AE

AC

=

AA′

OC

，
即

A′E

5

=

AE

10

=

4 5

5 5

．
∴A′E=4，AE=8．
∴OE=AE-OA=3．
∴点A′的坐标为（-3，4），
当x=-3时，
y=

1

4

×（-3）²+3-

5

4

=4．
所以，点A′在该抛物线上．

（3）存在．
理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，
则

5k+b=10 -3k+b=4

，
解得

k= 3 4 b= 25 4

∴直线CA′的解析式为y=

3

4

x+

25

4

设点P的坐标为（x，

1

4

x²-x-

5

4

），则点M为（x，

3

4

x+

25

4

）．
∵PM∥AC，
∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，
∴（

3

4

x+

25

4

）-（

1

4

x²-x-

5

4

）=10．
解得x₁=2，x₂=5（不合题意，舍去）
当x=2时，y=-

9

4

．
∴当点P运动到（2，-

9

4

）时，四边形PACM是平行四边形．

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．