Question

【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF．则DE，DF的数量关系为

 

．
【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC．过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE=DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理

专题：

分析：探究：依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
拓展：连接CD，可证得CD是角ACD的平分线，根据△CMF≌△CME可求得CF=CE，从而求得AF=BE，然后再证得△CFD≌△CED即可求得．
推广：作△ABM的中位线DG、DF，可得DH=FG，DG=HE，四边形DHMG是平行四边形，根据已知和平行四边形求得∠DGF=∠DHE，求得△DHE≌△FGD，从而求得结论．

解答：解：【探究】DE=DF．

【拓展】如图2，连接CD．
∵在△A B C中，C B=C A，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM．
∵点 D是 边 AB的 中点，
∴点M在CD上，
∴CM平分∠FCE．
∴∠FCD=∠ECD．
∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME．
在△CMF和△CME中，

MF=ME ∠FCD=∠ECD CM=CM

∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴CF=CE．
在△CFD与△CED中

CF=CE ∠FCD=∠ECD CD=CD

∴△CFD≌△CED（SAS）．
∴DE=DF，

【推广】DE=DF．
如图3，作AM的中点G，BM的中点H．
∵点 D是 边 AB的 中点，
∴DG∥BM，DG=

1

2

BM．
同理可得：DH∥AM，DH=

1

2

AM．
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点，
∴在Rt△BEM中，HE=

1

2

BM=BH．
∴DG=HE，
同理可得：DH=FG．
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形．
∴∠DGM=∠DHM．
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，
又∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE．
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE．
∴∠DGF=∠DHE，
在△DHE与△FGD中，

DG=HE ∠DGF=∠DHE DH=FG

∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．