Question

11．如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N，求证：BD=PM+PN．
如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用等积法，由条件可得S_△ABC=S_△ABP+S_△APC，利用三角形的面积公式，结合AB=AC可证得结论；
（2）同（1）利用等积法可得S_△ABC=S_△APC-S_△PAB，则可得到BD=PN-PM．

解答 （1）证明：
∵BD是△ABC的高，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PM，S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PN，
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△APC，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•PM+$\frac{1}{2}$AC•PN，
∵AB=AC，
∴BD=PM+PN；
（2）解：BD=PN-PM，
证明如下：
∵BD是△ABC的高，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PM，S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•PN，
∵S_△ABC=S_△APC-S_△PAB
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AC•PN-$\frac{1}{2}$AB•PM，
∵AB=AC，
∴BD=PN-PM．

点评 本题主要考查等积法的应用，所谓等积法即从不同的角度表示同一个图形的面积，从而得到所需要的关系式，灵活利用等积法可起到事半功倍的效果．