Question

3．如图，正比例函数y₁=mx（m＞0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AC⊥y轴，垂足为M，△ACB的面积为8．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求正比例函数与反比例函数的解析式；
（3）当y₁＞y₂时，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 $\frac{1}{2}$|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式，于是得到结论；
（2）正比例函数和反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论；
（3）由图象即可得到结论．

解答 解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4，
又∵A是反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=4，
∵k＞0，
∴k=8，
故这个反比例函数的解析式为 y=$\frac{8}{x}$，
∵A（n，4），
∴A（2，4），
∵A、B两点关于原点对称，
∴B（-2，-4）；

（2）∵正比例函数y₁=mx（m＞0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点A（2，4），
∴m=2，
∴正比例函数的解析式是y=2x，反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（3）由图象知当y₁＞y₂时，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2．

点评 本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=$\frac{1}{2}$|k|．