Question

2．宝塔中学自从开展“高校课堂”模式以来，在课堂上进行当堂测试效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图示1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
（1）求老师精讲的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；
（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大？

Answer 1

分析 （1）由图设该函数解析式为y=kx，即可依题意求出y与x的函数关系式．
（2）本题涉及分段函数的知识．需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40-x）分钟．用配方法的知识解答该题即可．

解答 解：（1）设y=kx，
把（1，2）代入，得：k=2，
∴y=2x，（0≤x≤40）；

（2）当0≤x≤8时，设y=a（x-8）²+64，
把（0，0）代入，得：64a+64=0，
解得：a=-1，
∴y=-（x-8）²+64=-x²+16x，
当8＜x≤15时，y=64；

（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40-x）分钟，
当0≤x≤8时，W=-x²+16x+2（40-x）=-x²+14x+80=-（x-7）²+129，
当x=7时，W_max=129；
当8≤x≤15时，W=64+2（40-x）=-2x+144，
∵W随x的增大而减小，
∴当x=8时，Wmax=128，
综上，当x=7时，W取得最大值129，此时40-x=33，
答：此“高效课堂”模式如何分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．