Question

9．在平面直角坐标系中，已知点A（-$\sqrt{2}$，0）、B（0，$\sqrt{2}$）、N（0，3$\sqrt{2}$），P是反比例函数y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）的图象上一动点，PM∥x轴交直线AB于M，则PM+PN的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先设出点P的坐标，进而表示出点M的坐标，再确定出点M关于点P的对称点M'的坐标，再判断出点M'，P，N在同一条直线上时，PM+PN最小即可．

解答 解：∵A（-$\sqrt{2}$，0）、B（0，$\sqrt{2}$），
∴直线AB的解析式为y=x+$\sqrt{2}$，
设点P（m，-$\frac{1}{m}$），
∵PM∥x轴，
∴M（-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{m}$，-$\frac{1}{m}$），
∴点M关于点P的对称点M'（2m+$\sqrt{2}$+$\frac{1}{m}$，-$\frac{1}{m}$），
∴PM+PN=PM'+PN，
∴点M'，P，N在同一条直线上时，
即：-$\frac{1}{m}$=3$\sqrt{2}$，
∴m=-$\frac{\sqrt{2}}{6}$时，PM+PN最小=PM'+MN=M'N=|x_M'|=|2m+$\sqrt{2}$+$\frac{1}{m}$|=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$，
故答案为$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题主要考查了待定系数法，对称的性质，极值的确定方法，解本题的关键是确定出点M'，P，N在同一条直线上时，PM+PN最小．