Question

19．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=8，AD：DC=1：3时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由题意我们知道∠A+∠C=90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE=∠A，就能得出∠DCE=90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知△CBE是由△ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．
（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD=CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB=AC，有AB的长，进而可得AC的值．

解答 解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB=8，
∴AC=8$\sqrt{2}$，
又∵AD：DC=1：3，
∴AD=2$\sqrt{2}$，DC=6$\sqrt{2}$．
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE²=DC²+CE²=72+8=80，
∴DE=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转性质，勾股定理，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．