Question

14．如图，已知A，B，C均在圆O上，且OA⊥OC，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，则OABC的面积为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 连接OB，过点B作BH⊥AO于点H，作BI⊥OC于点I，如图所示，推出四边形OHBI是矩形，设OH=BI=a．BH=OI=b，OA=OC=R，根据勾股定理得到（R-a）²+b²=1   ①，（R-b）²+a²=2    ②，a²+b²=R²      ③，解方程即可得到结论．

解答 解：连接OB，过点B作BH⊥AO于点H，作BI⊥OC于点I，如图所示，
∵OA⊥OC，
∴四边形OHBI是矩形，
设OH=BI=a．BH=OI=b，OA=OC=R，
∴（R-a）²+b²=1   ①，
（R-b）²+a²=2    ②，
a²+b²=R²      ③，
由①、③得，2Ra=2R²-1，
∴a=R-$\frac{1}{2R}$  ④，
由②、③得，Rb=R²-1，
∴b=R-$\frac{1}{R}$  ⑤，
将④、⑤代入③得，R²+$\frac{5}{4{R}^{2}}$-3=0，∴4R⁴-12R²+5=0，解得R²=$\frac{5}{2}$，
将R²=$\frac{5}{2}$分别代入2Ra=2R²-1，Rb=R²-1得，Ra=2，Rb=$\frac{3}{2}$，
∴四边形OABC的面积=$\frac{1}{2}$Ra+$\frac{1}{2}$Rb=$\frac{7}{4}$．
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了垂径定理，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．