Question

2．在△ABC中，AC=5$\sqrt{3}$，点D在三角形内部，连接AD、BD、CD，sin∠DCB=$\frac{1}{2}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=7$\sqrt{3}$，∠ABD=∠ACD，则线段AD的长度为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长CD交AB于E，在BD上截取BF=CA=5$\sqrt{3}$，连接AF，交DE于O，由sin∠DCB=$\frac{1}{2}$、cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$知∠DCB=∠ABC=30°，继而可得BE=CE、∠BEC=120°、∠AEC=60°，再证△BEF≌△CEA得EF=EA，结合∠FEC=∠AEC=60°知EO垂直且平分AF，从而得出AD=FD=BD-BF．

解答 解：如图，延长CD交AB于E，在BD上截取BF=CA=5$\sqrt{3}$，连接AF，交DE于O，

∵sin∠DCB=$\frac{1}{2}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DCB=∠ABC=30°，
∴BE=CE，∠BEC=120°，∠AEC=60°，
在△BEF和△CEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠EBF=∠ECA}\\{BF=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEA，
∴∠BEF=∠CEA=$\frac{1}{2}$∠BEC=60°，EF=EA，
∴∠FEC=∠BEC-∠BEF=60°，
在等腰△AEF中，∵∠FEC=∠AEC=60°，
∴EO垂直且平分AF，
∴AD=FD=BD-BF=7$\sqrt{3}$-5$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点，构建全等三角形是解题的关键．