如图.直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A.与y轴交于点C.已知二次函数的图象经过点A.C和点B．(1)求该二次函数的关系式,(2)有两动点D.E同时从点O出发.其中点D以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动.点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动.当D.E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下设△ODE的面积为S求S关于t的函数关系式，并直接写出S的最大值．

分析（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
（3）当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=$\frac{1}{2}$OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=$\frac{1}{2}$OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜$\frac{24}{11}$相遇时用的时间，此时S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．

解答解：（1）令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax²+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴所求二次函数的关系式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．

（2）不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
设点E的坐标为（x₁，y₁）
∴$\frac{{|x}_{1}|}{3}$=$\frac{4t-4}{5}$，
∴|x₁|$\frac{12t-12}{5}$
∵DE∥OC，
∴$\frac{12t-12}{5}$=$\frac{3}{2}$t
∴t=$\frac{8}{3}$
∵t=$\frac{8}{3}$＞2，不满足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．

（3）根据题意得D，E两点相遇的时间为$\frac{3+4+5}{\frac{3}{2}+4}$=$\frac{24}{11}$（秒）
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t•4t=3t²；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x₂，y₂）
∴$\frac{|{y}_{2}|}{4}$=$\frac{5-（4t-4）}{5}$，|y₂|=$\frac{36-16t}{5}$∴
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t×$\frac{36-16t}{5}$=-$\frac{12}{5}$t²+$\frac{27}{5}$t；
（ⅲ）当2＜t＜$\frac{24}{11}$时，
设点E的坐标为（x₃，y₃），类似ⅱ可得|y₃|=$\frac{36-16t}{5}$
设点D的坐标为（x₄，y₄）
∴$\frac{|{y}_{4}|}{4}$=$\frac{\frac{3}{2}t-3}{5}$，|y₄|=$\frac{6t-12}{5}$
∴S=S_△AOE-S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{36-16t}{5}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{6t-12}{5}$
=-$\frac{33}{5}$t+$\frac{72}{5}$．
当0＜t≤1时，S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t•4t=3t²，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-$\frac{12}{5}$t²+$\frac{27}{5}$t．函数的最大值是：$\frac{243}{80}$，
当2＜t＜$\frac{24}{11}$时，S=-$\frac{33}{5}$t+$\frac{72}{5}$，0＜S＜$\frac{6}{5}$，
∴S_最大=$\frac{243}{80}$．

点评本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

练习册系列答案

相关题目

6．

如图，一次函数y=kx+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=$\frac{n}{x}$（x＜0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，且OB：OA：OD=6：3：2
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当kx+6≤$\frac{n}{x}$时，请直接写出x的取值范围．

7．

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高为4，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动到点A后，再以每秒1个单位的速度沿线段AD运动，到点D停止．当点P不与平行四边形的顶点重合时，过点P作P所在边的垂线PQ交直线BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使点N落在射线PA或PD上，设点P运动时间为t秒，正方形PQMN与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）写出线段QM的长；
（2）当点M落在线段AD上时，求t的值；
（3）当点P在线段BA上运动时，求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）当点P运动4秒时，有一点F从D出发，在线段DA上以每秒5个单位的速度沿D-A-D运动一次，请直接写出点F在正方形PQMN的边PN上时t的取值范围．

4．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1，其中m，n为常数．

（1）在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；
（2）利用（1）中的格点多边形求出m，n的值．

11．计算
（1）（-1）²⁰⁰⁶+（-$\frac{1}{2}$）^-2-（3.14-π）⁰
（2）（a³b）²÷（-ab）÷（-a²）
（3）先化简，再求值：（x+2）²-（x+1）（x-1），其中x=-$\frac{1}{2}$．

1．（1）先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}}{x-1}$÷（1+$\frac{1}{{x}^{2}-1}$），其中x=2017．
（2）已知方程x²-2x+m-3=0有两个相等的实数根，求m的值．

8．下列事件中，是确定性事件的是（　　）

	A．	买一张电影票，座位号是8		B．	射击运动员射击一次，命中10环
	C．	明天会下雨		D．	度量多边形的外角和，结果是520°

5．

如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D，则△APD的面积为3．

6．计算：（-2）³×$\sqrt{\frac{1}{64}}$+|$\root{3}{-8}$+$\sqrt{2}$|+$\sqrt{2}$×（-1）²⁰¹⁸．

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