观察下表:序号123-图形x xyx x x x xy yx xy yx x xx x x xy y yx xy y yx xy y yx x x x-我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式.例如第1格的“特征多项式为4x+y．回答下列问题:(1)第2格的“特征多项式为9x+4y.第n格的“特征多项式为(n+1)2x+n2y,(2)若第1格的“特征多项式的值为-8.第2格的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．观察下表：

序号	1	2	3	…
图形	x　　　　x y x　　　　　x	x　　　x　　　x y　　　y x　　　　　　　x y　　　y x　　　x　　　x	x　　　x　　　x　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　x　　　x　　　　x	…

我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：
（1）第2格的“特征多项式”为9x+4y，第n格的“特征多项式”为（n+1）²x+n²y；（n为正整数）
（2）若第1格的“特征多项式”的值为-8，第2格的“特征多项式”的值为-11．
①求x，y的值；
②在此条件下，第n格的特征多项式是否有最小值？若有，求最小值和相应的n值；若没有，请说明理由．

分析（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n格的“特征多项式”；
（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；
②利用二次函数最值求法得出答案．

解答解：（1）第2格的“特征多项式”为：9x+4y；第n格的“特征多项式”为：（n+1）²x+n²y；
故答案为：9x+4y；（n+1）²x+n²y；

（2）①∵第1格的“特征多项式”的值为-8，第2格的“特征多项式”的值为-11，
∴根据题意可得：$\left\{\begin{array}{l}4x+y=-8\\ 9x+4y=-11\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$；

②有最小值，
将x=-3，y=4代入（n+1）²x+n²y=（-3）（n+1）²+4n²=n²-6n-3，
设y=n²-6n-3，
方程为二次函数，抛物线开口向上，有最小值，
当$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3$时，y取得最小值，
将n=3代入得y=-12，
当n=3时，最小值为-12．