Question

18．（1）如图1，AD、BC相交于点O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若OD=$\sqrt{2}$，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠OBD=∠ODB，得出OB=OD，再由SAS证得△AOB≌△COD，即可得出结论；
（2）连接OC，由CD与⊙O相切，得出OC⊥CD，求出CD=1，得出△OCD为等腰直角三角形，推出∠COD=45°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠OBD=∠ODB，
∴OB=OD，
在△AOB与△COD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD；

（2）解：连接OC，如图所示：
∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∵OA=OC，OA=1，
∴OC=1，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=1，
∴CD=OC，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠COB=45°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠COB=22.5°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质与圆周角定理是解决问题的关键．