Question

10．若实数m，n满足m+n=mn且n≠0时，就称点P（m，$\frac{m}{n}$）为“完美点”．
（1）判断点A（2，3）、B（3，2）是不是完美点；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上存在两个“完美点”C、D，且CD=$\sqrt{6}$，请求出k的值；
（3）已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+（p-t+1）x+q+t-3上存在唯一的“完美点”，且当-2≤p≤3时，q的最小值为t，求t值．

Answer 1

分析 （1）按照完美点概念，求出m、n的值，代入验算，判断各点是否是完美点；
（2）首先得出完美点所在的函数解析式，进而利用韦达定理求出k的值，进而得出答案；
（3）根据当-2≤p≤3时，q的最小值为t，当t＜-2，则t=（2+t）²-t+2，当-2≤t≤3，则t=-t+2，当t＞3分别分析得出答案．

解答 解：（1）∵实数m，n满足m+n=mn且n≠0时，就称点P（m，$\frac{m}{n}$）为“完美点”．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{\frac{m}{n}=3}\end{array}\right.$，
解得：n=$\frac{2}{3}$，
∵2+$\frac{2}{3}$≠2×$\frac{2}{3}$
∴A不是“完美点”，
假设点（3，2）是完美点，
则：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{\frac{m}{n}=2}\end{array}\right.$，
解得：m=3，n=$\frac{3}{2}$，
根据完美点定义，应该满足：
3、$\frac{3}{2}$为正实数，
3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴点B（3，2）是完美点．

 （2）∵m+n=mn且n≠0，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美点”P在直线y=x-1上，设点C、D坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
令$\frac{k}{x}$=x-1化简得x²-x-k=0，
∵DC=$\sqrt{6}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$，
由韦达定理x₁+x₂=1，x₁x₂=-k，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴1+4k=3，
解得：k=$\frac{1}{2}$，此时x²-x-k=0的△＞0，
∴k=$\frac{1}{2}$；

（3）令$\frac{1}{4}$x²+（p-t+1）x+q+t-3=x-1，由于“完美点”唯一，
∴此方程△=0，
（p-t）²-（q+t-2）=0，即q=（p-t）²-t+2，
q为p的二次函数
∵当-2≤p≤3时，q的最小值为t，
若t＜-2，则t=（2+t）²-t+2，
此时t无解；
若-2≤t≤3，则t=-t+2，解得：t=1，
若t＞3，则t=（3-t）²-t+2，
解得：t₁=4+$\sqrt{5}$，t₂=4-$\sqrt{5}$（不合题意舍去），
综上t=1或4+$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了反比例函数综合以及完美点的新定义、根与系数的关系等知识，正确利用分类讨论得出t的值是解题关键．