Question

2．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=$\sqrt{13}$；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是（5，3），（3，5）；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$，$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 （1）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；
（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可；
（2）分三种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法．

解答 解：（1）①∵∠ABC=90，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
故答案为$\sqrt{13}$，
②∵A（0，3），B（5，0），
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=6，
设点P（m，n），A（0，0），
∴OP=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=6，
∵m，n都为整数，
∴点P（3，5）或（5，3）；
故答案为P（3，5）或（5，3）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，
∴∠EAF+∠EBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠EBF=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∴四边形BCEF是准矩形；
（3）$\sqrt{15}+\sqrt{3}$，$\sqrt{39}+\sqrt{3}$，$2\sqrt{15}$
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，AC=4，
准矩形ABCD中，BD=AC=4，
①当AC=AD时，如图1，作DE⊥AB，

∴AE=BE$\frac{1}{2}$AB=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，
∴S_{准矩形ABCD}=S_△ADE+S_梯形BCDE
=$\frac{1}{2}$DE×AE+$\frac{1}{2}$（BC+DE）×BE
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{15}$+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）×1
=$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$；
②当AC=CD时，如图2，

作DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{16-3}$=$\sqrt{13}$，
∴S_{准矩形ABCD}=S_△DCF+S_梯形ABFD
=$\frac{1}{2}$FC×DF+$\frac{1}{2}$（AB+DF）×BF
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{13}$+$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{13}$）×$\sqrt{3}$
=$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$；
③当AD=CD，如图3，

连接AC中点和D并延长交BC于M，连接AM，连接BG，过B作BH⊥DG，
在Rt△ABC中，AC=2AB=4，
∴BD=AC=4，
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵AB=2，
∴AB=AG，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABG=60°，
∴∠CBG=30°
在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，
∴BH=1，
在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，
∴BM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，HM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，
∴DH=$\sqrt{15}$，∴DM=DH-MH=$\sqrt{15}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{准矩形ABCD}=S_△ABM+S_{四边形AMCD}，
=$\frac{1}{2}$BM×AB+$\frac{1}{2}$AC×DM
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×4×（$\sqrt{15}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=2$\sqrt{15}$；
故答案为$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$，$\sqrt{39}$+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{15}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，对角线面积公式，三角形面积公式，分情况计算是解本题的难点．