Question

5．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（　　）

• A． AB：AD=3：4
• B． 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒
• C． 当△ABE∽△QBP时，t=7秒
• D． 当△BPQ的面积为4cm²时，t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{47}{5}$秒

Answer 1

分析 先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，
A、直接求出比，
B、先判断出∠EBC≠60°，从而得出点P可能在ED上时，△PBQ是等边三角形，但必须是AD的中点，而AE＞ED，所以点P不可能到AD中点的位置，故△PBQ不可能是等边三角形；
C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，
D、分点P在BE上和点P在CD上两种情况计算即可．

解答 解：由图象可知，AD=BC=BE=5，CD=AB=4，AE=3，DE=2，
A、∴AB：AD=5：4，故A错误，
B、∵tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴∠ABE≠30°
∴∠PBQ≠60°，
∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵BE=BC，
∴点P到点E时，点Q到点C，
∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，
∵AE＞DE，
∴点P不可能到AD的中点，
∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，
C、∵△ABE∽△QBP，
∴点E只有在CD上，且满足$\frac{BC}{AB}=\frac{CP}{AE}$，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{CP}{3}$，
∴CP=$\frac{15}{4}$．
∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4-$\frac{15}{4}$）=$\frac{29}{4}$．
故C错误，
D、①如图（1）

在Rt△ABE中，AB=4，BE=5
sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{5}$，
∴sin∠CBE=$\frac{4}{5}$
∵BP=t，
∴PG=BPsin∠CBE=$\frac{4}{5}$t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ×PG=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}{t}^{2}$=4，
∴t=-$\sqrt{10}$（舍）或t=$\sqrt{10}$，
②当点P在CD上时，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×BC×PC=$\frac{1}{2}$×5×（5+2+4-t）=$\frac{5}{2}$×（11-t）=4，
∴t=$\frac{47}{5}$，
∴当△BPQ的面积为4cm²时，t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{47}{5}$秒，故D正确，
故选D．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．．