Question

11．如图，在△ABC中，点I是两条平分线的交点．
（1）若∠A=50°，则∠BIC=115°；
（2）若∠A=50°，点D是两条外角平分线的交点，则∠D=65°；
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠E与∠A的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知点I是两角B、C平分线的交点，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90+$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，可证∠BDC=180°-∠BIC=90-$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

解答 解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90+$\frac{1}{2}$∠BAC
=115°；

（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠D=180°-∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=65°；

（3）∠E=2∠A．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC，
即∠E=2∠A．
故答案为：115°，65°．

点评 本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．