Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a，5），半径为5的⊙P交直线y=x于点A，B，若弦AB=8，-则a的值为5+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PC⊥y轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=5，PC=a，易得D点坐标为（5，5），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=3，则PD=$\sqrt{2}$PE=3$\sqrt{2}$，所以a=5+3$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥y轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（a，5），
∴OC=5，PC=a，
把x=5代入y=x得y=5，
∴D点坐标为（5，5），
∴CD=5，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△PBE中，PB=5，
∴PE=$\sqrt{B{P}^{2}-B{E}^{2}}$=3，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=3$\sqrt{2}$，
∴a=5+3$\sqrt{2}$．
故答案为：5+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．