Question

7．正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，MN=1，点M，N分别在边BC，CD上滑动，且△AED与△MNC相似，则CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 分AED∽△MCN和AED∽△CNM两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可．

解答 解：∵AB=2，E为AB的中点，
∴AE=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当AED∽△MCN时，
$\frac{CM}{AE}$=$\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得，CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当AED∽△CNM时，
$\frac{CM}{AD}$=$\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得，CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质和正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．