Question

15．如图1，在菱形ABDE与菱形ACGF中，∠BDE=∠AFG，M为BC中点，直线AM交EF于N，探索∠ANF与∠BDE的数量关系，并证明你的结论．（说明：如果你反复探索没有解决问题，可以补充∠BDE=90°的条件完成解答（如图2））．

Answer 1

分析 延长AM到P，使PM=AM，连接PC，得到△ABM≌△PCM，于是推出∠2=∠P，AB=CP，得到AB∥CP，根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACP=180°，在菱形ABDE与菱形ACGF中，由于∠BDF=∠AFG，∠BDF=∠BAE，∠AFC+∠FAC=180°，于是得到∠BAE+∠FAC=180°，证得∠ACP=∠EAF，证出△APC≌△FEA，得到∠AEF=∠P，由于∠ANF=∠ANE+∠1，∠AEN=∠P=∠2，于是得到∠ANF=∠2+∠1=180°-∠BAE，即∠ANF=180°-∠BDE，结论即可得到．

解答 解：延长AM到P，使PM=AM，连接PC，
在△ABM与△CPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=PM}\\{∠AMB=∠PMC}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△PCM，
∴∠2=∠P，AB=CP，
∴AB∥CP，
∴∠BAC+∠ACP=180°，
在菱形ABDE与菱形ACGF中，
∵∠BDE=∠AFG，∠BDE=∠BAE，∠AFC+∠FAC=180°，
∴∠BAE+∠FAC=180°，
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠FAC）=180°，
∴∠ACP=∠EAF．
在△APC与△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=EA}\\{∠ACP=∠FAE}\\{AC=FA}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△FEA，
∴∠P=∠FEA，
∵∠ANF=∠AEN+∠1，∠AEN=∠P=∠2，
∴∠ANF=∠2+∠1=180°-∠BAE，即∠ANF=180°-∠BDE，
∴∠ANF+∠BDE=180°，
即∠ANF与∠BDE互补．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明出∠AEN=∠P=∠2是解此题的关键．