Question

15．△ABC中，∠ACB=60°，AE，BD是△ABC的角平分线，AE，BD交于点O．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：OD=OE．

Answer 1

分析 （1）根据内心的概念和角平分线的性质、结合三角形内角和定理计算即可；
（2）作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，证明△OHG≌△OGD即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∵AE，BD是△ABC的角平分线，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=120°；
（2）证明：作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵∠ACB=60°，OG⊥BC，OH⊥AC，
∴∠GOH=120°，又∠AOB=120°，
∴∠GOD=∠HOE，
∵AE，BD是△ABC的角平分线，AE，BD交于点O，
∴CO是∠BCA的平分线，OG⊥BC，OH⊥AC，
∴OG=OH，
在△OHG和△OGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOD=∠HOE}\\{∠OGD=∠OHE}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴△OHG≌△OGD，
∴OD=OE．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．