Question

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，CE平分∠DCB交AB于E，点E是AB的中点．
（1）求证：点E在∠ADC的平分线上．
（2）若AD=2cm，BC=3cm，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥CD于F，根据角平分线的性质得到EF=BE，根据点E是AB的中点，得到EF=EA，根据角平分线的判定定理证明结论；
（2）根据直角三角形全等的判定证明Rt△EAD≌Rt△EFD，得到FD=AD=2cm，同理得到CF=CB=3cm，计算得到答案．

解答 （1）证明：作EF⊥CD于F，
∵CE平分∠DCB，AB⊥BC，EF⊥CD，
∴EF=BE，又点E是AB的中点，
∴EF=EA，AB⊥AD，EF⊥CD，
∴点E在∠ADC的平分线上；
（2）解：在Rt△EAD和Rt△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EF}\\{ED=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△EAD≌Rt△EFD，
∴FD=AD=2cm，
同理，CF=CB=3cm，
DC=DF+CF=5cm．

点评 本题考查的是角平分线的性质和直角三角形全等的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．