Question

17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O直径，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BF=DE；
（2）若DE=2，AE=6，DF=12．求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，作OM⊥BD于M，延长MO交AH于N，如图，由垂径定理得BM=DM，再由圆周角定理得到∠AHC=90°，易得四边形AHFE为矩形，接着证明M点为EF的中点得到FM=EM，则BF=DE；
（2）解：易得四边形ANME为矩形，则MN=AE=6，BF=2，EF=10，BE=7，AH=EF=10，利用勾股定理计算出AD=2$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{85}$，然后证明Rt△ACB∽Rt△ADE，再利用相似比计算出AC即可．

解答 （1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，作OM⊥BD于M，延长MO交AH于N，如图，
∵OM⊥BD，
∴BM=DM，
∵AC为直径，
∴∠AHC=90°，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD，
∴四边形AHFE为矩形，MN∥AE∥FH，
∵ON∥CH，点O为AC的中点，
∴点N为AH的中点，
∴M点为EF的中点，
∴FM=EM，
∴BM-FM=DM-EM，
即BF=DE；
（2）解：易得四边形ANME为矩形，则MN=AE=6，
∵DE=2，DF=12，
∴BF=2，EF=12-2=10，BE=7，
∴AH=EF=10，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ADE，
∴Rt△ACB∽Rt△ADE，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$，即$\frac{AC}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{85}}{6}$，解得AC=$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
即圆的直径为$\frac{5\sqrt{34}}{3}$．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．