Question

9．如图，AO⊥OM，OA=8$\sqrt{2}$，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过E作EM⊥OP于M，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．

解答 解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N；
∵∠AOB=∠ABE=∠BME=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠MBE，
∴∠BAO=∠MBE；
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠MBE}\\{∠AOB=∠BME}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=ME，BM=AO；而BO=BF，
∴BF=ME；
在△BPF与△MPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBP=∠EMP}\\{∠FPB=∠EPM}\\{BF=ME}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△MPE（AAS），
∴BP=MP=$\frac{1}{2}$；而BM=AO，
∴BP=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．