Question

1．如图所示，ABCD为正方形，延长AD到E，使DE=AD，FG∥BD，EG交AF于H，证明：HD=AD．

Answer 1

分析 根据题意先证出△FGC是等腰直角三角形，得出BF=DG，由SAS证得△ABF≌△EDG（SAS），得出∠AFB=∠DGE=∠HGC，证得H、F、C、G四点共圆，得出∠AHE=∠C=90°，由HD为直角三角形斜边上的中线，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵FG∥BD，
∴∠CFG=∠DBC=45°，
∵∠C=90°，
∴△FGC是等腰直角三角形，
∴BF=BC-FC=CD-CG=DG，
在△ABF和△EDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD=DE}\\{∠ABF=∠EDG=90°}\\{BF=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDG（SAS），
∴∠AFB=∠DGE=∠HGC，
∴∠HFC+∠HGC=180°，
∴H、F、C、G四点共圆，
∴∠AHE=∠C=90°，
∴△AHE为直角三角形，
∵DE=AD，
∴HD为斜边上的中线，
∴HD=AD．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆内接四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，本题综合性强，难度较大，通过证明三角形全等和四点共圆才能得出结论．