Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的点A（0，4），和第一象限内的点B（m，n），△AB0的面积为8．

（1）求m的值；
（2）如图2，OF、AE为△ABO的角平分线，OF、AE相交于点C，BC平分∠ABO，CH为△ACO的高．求证：∠ACH=∠BCF；
 （3）如图3，OD为OB与x轴正半轴夹角的平分线，延长AC与OD相交于点D，当B点运动时，∠D-∠CBO的值是否不变？若是，求出该值；若不是，求出它的值的变化范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标可以求得OA长，再由△AB0的面积为8可以求出m的值；
（2）根据三角形内角平分线的交点为三角形的内心以及三角形外角的性质，可以得出∠ACH=∠BCF；
（3）由三角形内角和定理和角平分线的性质可以推导出∠D-∠CBO的值．

解答 解：（1）∵A（0，4）
∴OA=4．
∵点B（m，n）在第一象限内，△AB0的面积为8，
∴$\frac{1}{2}$×4m=8
解得m=4；
（2）∵OF、AE为△ABO的角平分线，OF、AE相交于点C，
∴∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠OAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABC=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABO．
∵CH为△ACO的高，
∴∠ACH=90°．
∵∠BCF为△COB外角，
∴∠BCF=∠BOF+∠OBC=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠ABO）=$\frac{1}{2}$（180°-∠OAB）
∵∠ACH=90°-∠OAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠OAB）
∴∠ACH=∠BCF；
（3）当B点运动时，∠D-∠CBO的值改变
证明：∵OD为OB与x轴正半轴夹角的平分线，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$（90°-∠AOB）．
在△AOD中
∠D=180°-∠AOD-∠AOD=180°-$\frac{1}{2}$∠OAB-∠AOB-$\frac{1}{2}$∠BOD
=135°-$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠AOB）
=135°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）
=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO．
∴∠D-∠CBO=45°．
∴当B点运动时，∠D-∠CBO的值不改变．

点评 本题主要考查的是平面直角坐标系中点的坐标特征、角平分线的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，掌握三角形的内角和定理以及三角形的外角性质是解决此题的关键．