Question

13．己知：如图，等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=1，EC=3，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABD═∠DCE=60°，根据∠ADE=60°，得到∠ADB=∠CED，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，设AB=x，则CD=x-4，代入比例式即可求出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD═∠DCE=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=120°-∠CDE，∠CED=120°-∠CDE，
∴∠ADB=∠CED，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
设AB=x，则CD=x-4，
∴$\frac{x}{x-4}=\frac{4}{3}$，
解得x=16，
∴△ABC的周长=48．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的周长的求法，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．