Question

5．已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．

Answer 1

分析 （1）连接CE和OE，因为BC是直径，所以∠BEC=90°，即CE⊥BE；再根据等腰三角形三线合一性质，即可得出结论；
（2）证明OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，再由已知条件得出FE⊥OE，即可得出结论；
（3）由切割线定理求出直径，得出半径的长，由平行线得出三角形相似，得出比例式，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，
∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，
∴FE⊥OE，
∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE²=FC•FB．
设FC=x，则有2FB=16，
∴FB=8，
∴BC=FB-FC=8-2=6，
∴OB=OC=3，
即⊙O的半径为3；
∴OE=3，
∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FOE，
∴$\frac{CG}{OE}=\frac{FC}{FO}$，
即$\frac{CG}{3}=\frac{2}{2+3}$，
解得：CG=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，由三角形中位线定理得出OE∥AC是解决问题的关键．