Question

14．如图，在等边三角形△ABC中，点D为线段BC的中点，点E、F分别在线段AB和AC上，∠EDF=60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若BE•CF=9，求△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，由三角形的外角性质和已知条件得出∠CDF=∠BED，即可证出△BDE∽△CFD；
（2）由相似三角形的性质得出BE：CD=BD：CF，得出CD•BD=BE•CF=9，由中点的定义得出BD=CD，求出CD=3，即可得出AB=BC=AC=2BD=6．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵∠CDE=∠B+∠BED，∠EDF=60°，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：由（1）得：△BDE∽△CFD，
∴BE：CD=BD：CF，
∴CD•BD=BE•CF=9，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴CD²=9，
∴CD=3，
∴AB=BC=AC=2BD=6．

点评 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．