Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线AE，BD相交于M，点O在AB边上，以OB为半径的圆恰好经过点M，且与AB相交于另一点F．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）当BC=4，cosC=$\frac{1}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）通过解直角三角形求得AB=6，设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到 $\frac{R}{2}$=$\frac{6-R}{6}$，即可解得R=$\frac{3}{2}$，从而求得⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

解答 （1）证明：连接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵cosC=$\frac{1}{3}$，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∵CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=6，
设⊙O的半径为R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$即 $\frac{R}{2}$=$\frac{6-R}{6}$，
解得R=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．