Question

13．已知x₁，x₂是方程x²-2（k+1）x+4k=0的两根，且-$\frac{3}{2}$＜x₁＜$\frac{1}{2}$．
（1）求k的取值范围；
（2）设二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴交于点M，若OM=OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先求出方程的两个根，由已知条件即可得出k的取值范围；
（2）分两种情况：①若A（2k，0），B（2，0），由OM=OB得出方程|4k|=2，解方程即可；
②若B（2k，0），A（2，0），得出方程|4k|=|2k|，解方程即可．

解答 解：（1）∵x²-2（k+1）x+4k=0，
∴（x-2）（x-2k）=0，
∴x₁=2k，x₂=2，
又∵-$\frac{3}{2}$＜x₁＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜2k＜$\frac{1}{2}$，即-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{1}{4}$；
（2）分两种情况：
①若A（2k，0），B（2，0），
∴OB=2，
又∵M在y轴上，
∴点M的坐标（0，4k），
∴OM=|4k|，
又∵OM=OB，
∴|4k|=2，
解得：k=±$\frac{1}{2}$，
又∵-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{1}{4}$，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
②若B（2k，0），A（2，0），
则|4k|=|2k|，
解得：k=0；
综上所述：若OM=OB，k的值为-$\frac{1}{2}$或0．

点评 本题考查了一元二次方程的根、抛物线与x轴的交点特征；本题有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，避免漏解．