Question

16．如图，AB=10，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连结PQ，则PQ的最小值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分别延长AP、BQ交于点D，易证四边形CPDQ为平行四边形，得出PD+DQ=PC+CQ=AC+BC=10，作△ABD的中位线MN，则MD=DN=MN=$\frac{1}{2}$AB，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD=DN=MN=$\frac{1}{2}$AB，进而求得MD+DN=PD+DQ，得出PM=QN，作PE⊥MN，QF⊥MN，则PE∥QF，然后证得△PME≌△QNF，从而证得MN=EF，根据平行线间的距离得出PQ≥EF，从而求得PQ的最小值．

解答 解：如图，分别延长AP、BQ交于点D，
∵∠A=∠QCB=60°，
∴AD∥CQ，
∵∠B=CPCA=60°，
∴BD∥PC，
∴四边形CPDQ为平行四边形，
∴PD=CQ，PC=DQ，
∴PD+DQ=PC+CQ=AC+BC=10，
作△ABD的中位线MN，则MD=DN=MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴MD+DN=AB=10，
∴MD+DN=PD+DQ，
∴PM=QN，
作PE⊥MN，QF⊥MN，
∴PE∥QF，
在△PME和△QNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠QNF=60°}\\{∠PEM=∠QFN=90°}\\{PM=QN}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△QNF（AAS），
∴EM=FN，
∴MN=EF，
∴PQ≥EF，
∴C是线段AB的中点时，PQ的值最小，最小值为$\frac{1}{2}$AB=5．
故选A．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，得到PQ≥EF，综合性较强．