Question

9．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，则cosA=$\frac{∠A\;的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时，sadA=$\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述角的正对的定义，解答下列问题：
（1）直接写出sad60°的值为1；
（2）若0°＜∠A＜180°，则∠A的正对值sad A的取值范围是0＜sadA＜2；
（3）如图2，已知tanA=$\frac{3}{4}$，其中∠A为锐角，求sadA的值；
（4）直接写出sad36°的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）过点B作BD⊥AC于点D，利用勾股定理即可解答；
（4）作出等腰△ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答．

解答 解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=$\frac{1}{1}$=1．
故答案为：1；
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．
（3）如图2，过点B作BD⊥AC于点D．
∴∠ADB=∠CDB=90°．

在Rt△ADB中，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴设BD=3k，则AD=4k．
∴AB=$\sqrt{B{D^2}+A{D^2}}=5k$．  
∵AB=AC，
∴CD=k．
∴在Rt△CDB中，利用勾股定理得，BC=$\sqrt{10}k$．
在等腰△ABC中，sad A=$\frac{BC}{AB}=\frac{{\sqrt{10}k}}{5k}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．  
（4）如图3所示：已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，

∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{BC}{BC+CD}=\frac{CD}{BC}$，
解得：BC=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$CD，
∴sad36°=$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和相似三角形的判定与性质，根据题意得出BC与CD的关系是解题关键．