如图1.在△ABC中.CD为AB边上的中线.点E.F分别在线段CD.AD上.且$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$．点G是EF的中点.射线DG交AC于点H．(1)求证:△DFE∽△DAC,(2)请你判断点H是否为AC的中点?并说明理由,(3)若将△ADH绕点D顺时针旋转至△A′DH′.使射线DH′与射线CB相交于点M(不与B.C重合．图2是旋转后的一种情形).请探究� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E、F分别在线段CD、AD上，且$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$．点G是EF的中点，射线DG交AC于点H．
（1）求证：△DFE∽△DAC；
（2）请你判断点H是否为AC的中点？并说明理由；
（3）若将△ADH绕点D顺时针旋转至△A′DH′，使射线DH′与射线CB相交于点M（不与B，C重合．图2是旋转后的一种情形），请探究∠BMD与∠BDA′之间所满足的数量关系，并加以证明．

分析（1）根据三角形的中线的概念和相似三角形的判定定理证明即可；
（2）证明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根据相似三角形的性质得到比例式，根据线段中点的概念得到EG=FG，等量代换即可；
（3）分点M在线段BC上和点M在CB的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质和旋转的性质解答即可．

解答（1）证明：∵CD为AB边上的中线，
∴DB=DA，
∵$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{DF}{DA}=\frac{DE}{DC}$，又∠FDE=∠ADC，
∴△DFE∽△DAC；
（2）解：点H为AC的中点．
理由如下：∵△DFE∽△DAC，
∴∠DFE=∠DAC，
∴EF∥AC，
∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，
∴$\frac{DG}{DH}=\frac{FG}{AH}$，$\frac{DG}{DH}=\frac{EG}{HC}$，
∴$\frac{EG}{HC}=\frac{FG}{AH}$，
∵点G是EF的中点，
∴EG=FG，
∴HC=AH，即点H为AC的中点；
（3）解：①如图2，当点M在线段BC上时（不与B，C重合），
∠BMD+∠BDA'=180°，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠HDH′，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'．
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∴∠BMD+∠BDA′=180°；
②如图3，当点M在CB的延长线上时，∠BMD=∠BDA'，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠NDH，
∵将△ADH绕点D旋转至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'，
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∠NDH+∠HDH′=180°，
∴∠NDH=∠BDA′，
∴∠BMD=∠BDA′．