Question

4．如图，已知AD是等边△ABC的角平分线，点E是AB的中点，且AD=6，BD=2，点M是AD上一动点，求△BEM的周长的最小值．

Answer 1

分析 作点B关于AH的对称点B′，由等边三角形的性质可知B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为EM与BM和的最小值，由等边三角形的性质可求出△CAE≌△ACD，则CE=AD=6．

解答 解：作点B关于AD的对称点B′，
∵△ABC是等边三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为ME与MB和的最小值
∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，∠ACE=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，AC=AC，
在△CAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDA}\\{∠ACE=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△ACD，
∴CE=AD=6．
∴△BEM的周长的最小值=6+2=8．

点评 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．