Question

13．如图，已知A，B两村庄在平面直角坐标系中的坐标分别为（3，1），（5，5），若长途客车沿y轴行驶到P处时，与A，B两村庄的距离之和最小，则点P的坐标为（0，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 作点A关于y轴的对称点A′，连接AA′交y轴于点P，则点C即为所求点；由A点坐标求出A′点坐标，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，进而可得出C点坐标．

解答 解：如图所示，点P即为所求点．
∵A（3，1），
∴A′（-3，1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（5，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{5k+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∵当x=0时，y=$\frac{5}{2}$，
∴p（0，$\frac{5}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．