Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的圆心在线段CA上，且它的半径为3．
（1）当点0与点C重合时，⊙O与直线AB具有怎样的位置关系？
（2）如果⊙0沿直线CA移动（点0沿直线CA移动），当OC等于多少时，⊙0与直线AB相切？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得点C到AB的距离，然后与半径比较大小，即可得到⊙O与直线AB具有怎样的位置关系；
（2）由题意可得，⊙0与直线AB相切时，则点O到AB的距离就是半径，然后根据三角形的相似即可求得OA的长，从而可以得到OC的长．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的圆心在线段CA上，且它的半径为3，
∴AB=13，
∴当点0与点C重合时，点C到AB的距离是：$\frac{OA•OB}{AB}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$，
∵$\frac{60}{13}＞3$，
∴⊙O与直线AB的位置关系是相离；
（2）当⊙0与直线AB相切时，
则点O到AB的距离是3，
则⊙O与AB的切点与点A、点O构成的三角形与三角形AOB相似，
∴$\frac{AO}{13}=\frac{3}{12}$，
解得，AO=$\frac{39}{12}$，
∴OC=AC-AO=5-$\frac{39}{12}$=$\frac{7}{4}$，
即当OC=$\frac{7}{4}$时，⊙0与直线AB相切．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、三角形的相似，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．