Question

16．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的对称轴上一点，求△AOM周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三点代入抛物线y=ax²+bx+c解方程组即可．
（2）如图，连接AB与对称轴交于点M，此时△AOM周长最小，△AOM周长最小值=OA+AB，求出OA、AB即可．

解答 （1）解：把A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三点代入抛物线y=ax²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{4a-2b+c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，．
故抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）解：如图，连接AB与对称轴交于点M，此时△AOM周长最小．
∴△AOM周长最小值=AO+OM+AM=BM+AM+AO=AO+AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$+$4\sqrt{2}$=2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$．
∴△AOM周长最小值为2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查待定系数法确定函数解析式、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是利用轴对称准确找到点M的位置，属于中考常考题型．