Question

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E、F
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）设AE=x，用含x的代数式表示四边形MEFN的面积；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形？若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰梯形的性质结合勾股定理得出梯形的高，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质表示出ME的长，进而表示四边形MEFN的面积；
（3）利用（2）中所求得出x的值，进而得出正方形MEFN的面积．

解答 解：（1）过点D作DN⊥AB于点N，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5，
∴AN=$\frac{1}{2}$×（7-1）=3，
∴DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=4，
∴梯形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$×（1+7）×4=16；

（2）∵AE=x，AD=BC，
∴BF=x，则EF=7-2x，
∵ME∥DN，
∴△AEM∽△AND，
∴$\frac{AE}{AN}$=$\frac{ME}{DN}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{ME}{4}$，
解得：ME=$\frac{4}{3}$x，
∴用含x的代数式表示四边形MEFN的面积为：（7-2x）•$\frac{4}{3}$x=-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{28}{3}$x，

（3）当四边形MEFN为正方形，由（2）得：
则$\frac{4}{3}$x=7-2x，
解得：x=$\frac{21}{10}$，
故正方形MEFN的面积为：$\frac{4}{3}$x²=$\frac{4}{3}$×$\frac{21×21}{100}$=$\frac{147}{25}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质等知识，正确表示出ME的长是解题关键．