Question

15．如图，抛物线y=ax²+2ax+c与直线y=x+b交于A（-2，-1）、C（1，2）两点，与y轴交于B，D、E是直线y=x+b与坐标轴的交点，
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上找出所有的点F，使△CEF与△ABD相似，直接写出点F的坐标；
（3）P为x轴上一点，Q为此抛物线上一点，是否存在P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别把点A、C的横纵坐标分别代入抛物线y=ax²+2ax+c与直线y=x+b中，求出a、b、c的值，然后即可求得解析式；
（2）如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，分别写出符合题意的F的坐标即可；
（3）设P（a，0），若AC为边，则Q（a+3，3），若AC为对角线，则Q（-1-a，1），再根据已知条件求出满足题意a的值，即可求出P的坐标．

解答 解：（1）将点A（-2，-1），C（1，2）代入抛物线得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+c=-1}\\{a+2a+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为 y=x²+2x-1，
将点A（-2，-1）代入直线解析式得：
-2+b=-1，
解得：b=1，
∴直线的解析式为：y=x-1；

（2）符合条件的点有2个：
如图①CF⊥x轴于F，则此时△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
如图②作EC⊥CF′，交x轴于F′，此时△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；

（3）设P（a，0），
若AC为边，如图③，则Q（a+3，3），
∴（a+3）²+2（a+3）-1=3，
∴a₁=-4+$\sqrt{5}$，a₂=-4-$\sqrt{5}$，
∴P（-4+$\sqrt{5}$，0）或（-4-$\sqrt{5}$，0），
若AC为对角线，如图④，则Q（-1-a，1），
∴（-1-a）²+2（-1-a）-1=1，
∴a₁=$\sqrt{3}$，a₂=-$\sqrt{3}$，
∴P的坐标为：（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、关于x轴对称的点的坐标特征、函数图象上的点的坐标意义以及平行四边形的判定和性质等知识，在第（3）题中，一定要把所有的情况都考虑到，做到不漏解．