Question

20．如图，P是正△ABC内一点，∠APC=130°，将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°得到△BP′A，连接PP′，当∠BPC为多少度时，△APP′是等腰三角形？

Answer 1

分析 根据旋转的性质得出△P′PB是等边三角形，得出∠P′PB=∠PP′B=60°，设∠BPC=x时，由△APP′是等腰三角形，则∠AP′B=x，∠AP′P=x-60°，分三种情况分别讨论求得∠APP′的值，根据∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，列出等式即可求得．

解答 解：∵PB=P′B，∠PBP′=60°，
∴△P′PB是等边三角形，
∴∠P′PB=∠PP′B=60°，
设∠BPC=x时，由△APP′是等腰三角形，则∠AP′B=x，
∴∠AP′P=x-60°，
①当P′A=P′P时，则∠P′PA=∠PAP′=$\frac{180°-（x-60°）}{2}$，
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴$\frac{180°-（x-60°）}{2}$+60°+x+130°=360°，
解得x=100°；
②当P′A=PA时，则∠P′PA=∠PP′A=x-60°
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴x-60°+60°+x+130°=360°，
解得x=115°；
③当P′P=PA时，则∠P′PA=180°-2（x-60°）=300°-2x
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴300°-2x+60°+x+130°=360°，
解得x=130°；
所以，当∠BPC为100°或115°或130°，△APP′是等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．