Question

2．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AE于点F，BD⊥BC于点B，AE为BC边上的中线，试说明：AE=CD．

Answer 1

分析 根据题意得到一对直角相等，再由公共角，得到三角形ECF与三角形ACE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，夹边BC=AC，利用ASA得到三角形DCB与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答 证明：∵AE⊥CD，
∴∠CFE=∠ACE=90°，
∵∠FEC=∠CEA，
∴△CEF∽△AEC，
∴∠EAC=∠DCB，
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠EAC}\\{BC=AC}\\{∠DBC=∠ECA=90°}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（ASA），
则AE=CD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解本题的关键．