Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．
（1）用直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求∠BOC的度数和⊙O的半径．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）作出△ABC的角平分线的交点就是O，然后作OD⊥BC于点D，以O为圆心，以OD为半径作圆即可；
（2）根据内心是角平分线的交点，利用三角形的内角和定理求解．

解答：解：（1）如图所示：⊙O就是所求的圆；

（2）∵在直角△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵O是△ABC的内心，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，∠OCB=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠BOC=180°-30°-45°=105°．
∵在直角△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，AC=

AB2-BC2

=

42-22

=2

3

．
∴⊙O的半径是：

2+2 3 -4

2

=

3

-1．

点评：本题考查了尺规作图，三角形的内心是三角形的角平分线的交点，到三角形的三边的距离相等．