题目内容
11．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．
①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．
②如图乙所示，若∠1=$\frac{1}{3}$∠BME，∠2=$\frac{1}{3}$∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．
（2）若E是AB，CD外一点．
①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．
②如图丁所示，已知∠BMP=$\frac{1}{4}$∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=$\frac{1}{4}$∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．
分析 （1）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；
（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE-∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=$\frac{1}{4}$∠EMB，∠G=$\frac{1}{4}$∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形结构得到∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：∠GND的值．
解答 解：（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．
证明：如图甲，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，
∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，
即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．
②如图乙，过F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，
∴∠MFN=∠1+∠2，
又∵∠1=$\frac{1}{3}$∠BME，∠2=$\frac{1}{3}$∠DNE，
∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，
又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，
∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，
即3∠MFN+∠MEN=360°；
（2）①∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系为：∠DNE-∠BME=∠MEN．
理由如下：如图丙，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，
又∵∠FEN-∠FEM=∠MEN，
∴∠DNE-∠BME=∠MEN；
②点G的大致位置如图丁所示：
设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设∠GMB=α，∠G=β，
由∠BMP=$\frac{1}{4}$∠EMB，∠G=$\frac{1}{4}$∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，
∵∠EQM=∠GQN，
∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，
即∠GNQ=∠E+∠EMQ-∠G=4β+3α-β=3α+3β，
∵∠1是△GFM的外角，
∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，
又∵AB∥CD，
∴∠GND=∠1=α+β，
∴∠ENG：∠GND=（3α+3β）：（α+β）=3．
点评 本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，∠D=45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD=a．