Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，∠D=45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD=a．
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）求BG的长．

Answer 1

分析 （1）先根据∠B=∠A=∠AFC=90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB=BC，即可得到四边形ABCF是正方形；
（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG=FD，再根据正方形ABCF中，BC=AF，即可得到AF+FD=BC+CG，即AD=BG=a．

解答 解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，
∴FC=FD，
∴∠D=∠FCD=45°，
∴∠CFD=90°，即∠AFC=90°，
又∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCF是正方形；

（2）∵FG垂直平分CD，
∴CE=DE，∠CEG=∠DEF=90°，
∵BG∥AD，
∴∠G=∠EFD，
在△CEG和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠EFD}\\{∠CEG=∠DEF}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DEF（AAS），
∴CG=FD，
又∵正方形ABCF中，BC=AF，
∴AF+FD=BC+CG，
∴AD=BG=a．

点评 本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．