Question

19．等腰△ABC的一边BC=3，另两边AB、AC恰好分别是方程x²-（m+2）x+2m=0的两实数根，那么等腰△ABC的周长是7或8．

Answer 1

分析 当3是腰时，把x=3代入方程就可以求出m的值，再将m的值代入解得x，求得另一边，可得结果；当3是底时，则AB=AC，原方程有两个相等的实数根根据△=0就可以求出m的值，同理可得结果．

解答 解：当3是等腰三角形的腰时，9-（m+2）×3+2m=0，
解得：m=3．
∴x²-（m+2）x+2m=0为x²-5x+6=0
解得x₁=2，x₂=3，
∴等腰三角形的三边为3，3，2，
符合构成三角形的条件，
∴等腰△ABC的周长是3+3+2=8；
当3是等腰三角形的底时，
∴AB=AC，
∴方程x²-（m+2）x+2m=0有两个相等的实根，
∴△=0，
∴[-（m+2）]²-4×2m=0，
m=2，
∴x²-（m+2）x+2m=0为x²-5x+6=0
解得：x₁=x₂=2，
∴等腰三角形的三边为3，2，2，
符合构成三角形的条件，
∴等腰△ABC的周长是3+2+2=7；
综上所述∴等腰△ABC的周长是7或8．
故答案为：7或8．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，根与系数的关系的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时分类讨论是关键．