Question

如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由?ABCD得到OA=OC，OB=OD，由OA=OB，得到；OA=OB=OC=OD，对角线平分且相等的四边形是矩形，即可推出结论；
（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB的长度．

解答：（1）证明：在□ABCD中，
OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
又∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．  
                          
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OD．
又∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=AD=4，
∴BD=2OD=8，
在Rt△ABD中，AB=

BD2-AD2

=

48

=4

3

．

点评：本题考查了矩形的判定方法以及勾股定理的综合运用，熟练记住定义是解题的关键．