题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接DC，过D作DE⊥DC交OA于点E．（1）求点D的坐标；
（2）求证：△ADE≌△BCD；
（3）抛物线y=
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探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标，此时，四边形EPCD的面积是多少？若不存在，请你说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用角平分线的性质以及矩形的性质得出∠ADO=∠DOC，以及∠AOD=∠ADO，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；
（3）利用待定系数法求二次函数解析式进而AC所在直线函数解析式，表示出PM的长，得出P点坐标，进而得出S△EPC=
×4×10=20，S△EDC=
ED×CD=
×68=34，即可得出答案．
（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；
（3）利用待定系数法求二次函数解析式进而AC所在直线函数解析式，表示出PM的长，得出P点坐标，进而得出S△EPC=
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解答：（1）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵四边形AOCB是矩形，∴AB∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∴∠AOD=∠ADO
∴OA=AD=8，
∴D点坐标为（8，8）；
（2）证明：∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA
又∵AO=AD，∴AD=BC
∵DE⊥DC，∴∠EDC=90°
∴∠ADE+∠BDC=90°
∵∠BCD+∠BDC=90°
∴∠ADE=∠BCD
在△ADE和△BCD中
∴△ADE≌△BCD（ASA）；
（3）解：存在
∵抛物线的图象过点A（0，8），C（10，0）两点
，
∴
，
∴y=
x2-
x+8，
点P是x轴下方的抛物线上一动点
∴设P点坐标为 （t，
t2-
t+8）（4＜t＜10）
设AC所在直线函数关系式为y=kx+m，
∵A（0，8），C（10，0）
∴
解得：
∴AC所在直线函数解析式为：y=-
x+8，
∵PM∥y轴
设M（t，-
t+8）
PM=-
t+8-（
t2-
t+8）
=-
t2+2t
=-
(t2-10t)
=-
(t-5)2+5
∵4＜t＜10，∴当t=5时，PM最大值=5
∴所求的P点坐标为 （5，-1）
连接PC、EP，则S四边形EPCD=S△EDC+S△EPC，
∵E（0，6），C（10，0），
设直线EC的解析式为：y=ex+d，
∴
，
解得：
，
∴EC的解析式为y=-
x+6，
过P作PN⊥x轴交EC于N，
∴N（5，3），∴PN=4，
S△EPC=
×4×10=20，
∵ED=CD=
=
，
而S△EDC=
ED×CD=
×68=34，
∴S四边形EPCD=54．
∴∠AOD=∠DOC，
∵四边形AOCB是矩形，∴AB∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∴∠AOD=∠ADO
∴OA=AD=8，
∴D点坐标为（8，8）；
（2）证明：∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA
又∵AO=AD，∴AD=BC
∵DE⊥DC，∴∠EDC=90°
∴∠ADE+∠BDC=90°
∵∠BCD+∠BDC=90°
∴∠ADE=∠BCD
在△ADE和△BCD中
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∴△ADE≌△BCD（ASA）；
（3）解：存在
∵抛物线的图象过点A（0，8），C（10，0）两点
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∴
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∴y=
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点P是x轴下方的抛物线上一动点
∴设P点坐标为 （t，
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设AC所在直线函数关系式为y=kx+m，
∵A（0，8），C（10，0）
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解得：
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∴AC所在直线函数解析式为：y=-
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∵PM∥y轴
设M（t，-
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∵4＜t＜10，∴当t=5时，PM最大值=5
∴所求的P点坐标为 （5，-1）
连接PC、EP，则S四边形EPCD=S△EDC+S△EPC，
∵E（0，6），C（10，0），
设直线EC的解析式为：y=ex+d，
∴
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解得：
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∴EC的解析式为y=-
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过P作PN⊥x轴交EC于N，
∴N（5，3），∴PN=4，
S△EPC=
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∵ED=CD=
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而S△EDC=
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∴S四边形EPCD=54．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及待定系数法求一次函数以及二次函数解析式和三角形面积求法等知识，利用数形结合得出S四边形EPCD=S△EDC+S△EPC是解题关键．
练习册系列答案
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