Question

3．探究过程，观察下列各式及其验证过程．
3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$．
验证：3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{{3}^{2}}$×$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{3}}{8}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{3}-3+3}{{3}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{3（3^2-1）+3}{3^2-1}}$=$\sqrt{\frac{3×（3^2-1）}{3^2-1}+\frac{3}{3^2-1}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$．
同理可得：4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$，5$\sqrt{\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$，…，
通过上述探究你能推测出：a$\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 首先理解题意，结合题意可将原式进行计算，继而可求得答案．

解答 解：a$\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$=$\sqrt{{a}^{2}}$×$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}-a+a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{a（{a}^{2}-1）+a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．
故答案为：$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．

点评 此题考查了二次根式的化简．此题属于规律性题目，注意找到规律：a$\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$是关键．