Question

12．如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+5的图象与反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（-2，b），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由点A和一次函数的解析式求得A的坐标，代入反比例函数的解析式求解；
（2）根据平移的性质得到一次函数的解析式：y=$\frac{1}{2}$x+5-m，与反比例函数的解析式联立方程组，根据直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，根的判别式解出．

解答 解：（1）把点A（-2，b）代入y=$\frac{1}{2}$x+5得b=4，
∴A（-2，4），
把点A代入y=-$\frac{k}{x}$得：k=-8，
∴反比例函数的表达式：y=-$\frac{8}{x}$；

（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，
∴一次函数的解析式：y=$\frac{1}{2}$x+5-m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+5-m}\\{y=-\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得x²+（10-2m）x+16=0，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴△=（10-2m）²-4×16=0，
解得；m₁=1，m₂=9，
∴m的值为：1或9．

点评 本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，解一元二次方程，应用根的判别式，直线平移等知识点．