Question

17．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接EF，交BD于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．

解答 （1）解：连接EF，交BD于点O．
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OD}{BO}$=$\frac{DF}{BE}$=$\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{1}{2}AB}$=1．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，
∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，
∴EF⊥GH．
∴?HEGF是菱形．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及菱形的判定，正确理解定理是解决本题的关键．